Meccanica
In meccanica si dice che un sistema è stabile quando si ha:
- Equilibrio delle forze,
- Equilibrio dei momenti.
Teorema di Varignon
Il momento statico di un sistema di forze rispetto a un punto o un asse è equivalente al momento statico della risultante dello stesso sistema di forze rispetto allo stesso punto o asse".
La somma dei momenti di due (o più) vettori rispetto ad un polo “P” è eguale al momento della loro risultante rispetto allo stesso polo “P”:
M1+M2 = MR
La somma dei singoli vettori per i relativi bracci (bi) è eguale al vettore risultante per il suo braccio rispetto al polo”P”.
V1 b1 +V2 b2 = VRbR
Momento static o primo momento di inerzia
Il teorema di Varignon, si può anche esprimere:
Il momento statico di un sistema di forze rispetto a un punto od un asse è equivalente al momento statico della risultante dello stesso sistema di forze rispetto allo stesso punto od asse.
Tre vettori con direzione parallela, verso in basso e modulo 2, 3 e 4;
Il vettore risultante si ottiene con il teorema di Varignon.
Semplifichiamo ponendo il polo sulla direzione del vettore con modulo 2:
ai = area della i-esima figura,
A = sommatoria
delle aree di tutte le figure,
d = distanza del
centro della figura complessiva rispetto all’asse di riferimento (A-A).
Figura complessa avente n asse di simmetria (C-C).
Calcolo della posizione della linea baricentrica tramite il momento statico rispetto ad un asse qualunque A-A.
Il baricentro potrà essere determinato indipendentemente dall’asse do riferimento assunto.
Stessa figura complessa avente n asse di simmetria (C-C).
Calcolo della posizione del baricentro tramite il momento statico rispetto all’asse A’-A’.
Si vede che il baricentro è nella stessa
posizione, indipendente-mente dall’asse di riferimento.
Figura complessa senza simmetria.
Calcolo della posizione del baricentro tramite il momento
statico rispetto all’asse B-B.
Il baricentro di un corpo è il punto in cui si immagina concentrata la “massa” del corpo.
Lo si utilizza per calcolare il comportamento di un corpo in equilibrio o in movimento.
Il momento statico è il mezzo per determinare il baricentro di una figura piana o solida di qualunque forma.
Il momento statico di una qualunque figura piana complessa è una grandezza che contiene un numero discreto di aree, il cui singolo baricentro è moltiplicato per la sua distanza ad un asse comune di riferimento.
In definitiva l’insieme dei momenti statici delle singole porzioni equivale al momento statico dell’area complessa che la forma.
Il calcolo del momento statico di un volume complesso rispetto ad una terna cartesiana permette di determinare la posizione del suo baricentro.
Se la“nave” sarà la figura complessa, l’utilizzo del momento statico permetterà di determinare il punto “G” (gravity center) della nave.
Momento di inerzia o secondo momento di inerzia
Il momento di inerzia rappresenta la capacità della massa (punto, area, volume), di opporsi al moto rotazionale ovvero l'inerzia dei corpi rispetto ai moti rotazionali.
Il momento di inerzia di un sistema di masse elementari rispetto una retta h viene definito come la somma dei prodotti delle singole masse per il quadrato delle rispettive distanze dalla retta stessa
mi =Vi gi
Il lato tagliato dall'asse deve essere elevato al cubo.
Calcolo di trave a doppio T in modo semplificato.
Dal momento di inerzia "Jx" del rettangolo da 8 x 12 (ove l'asse X'-X' taglia il lato da 12), pari a 1152, si detrae il momento di inerzia "Jx" del rettangolo da 6 x 8 (ove l'asse X''-X '' taglia il lato da 8) =256, si otterrà il "Jx" del profilo a doppioT =896.
Figura simmetrica rispetto ad un asse verticale C-C
Riferimeto figure AR_PM 01, 02 e 08
Dalla figura AR_PM_01 con il teorema di Varignon (momenti statici), si è ottenuta la posizione dell'asse baricentrico orizzontale x-x della figura complessiva. L'asse x-x dista rispetto ad un asse di riferimeto qualunque, preso, in questo caso ad una estremitàdella figura rossa e denominato A-A, disterà 6,4.
Poiché la figura è simmetrica rispetto all'asse verticale C-C, che passa per i baricentri delle due figure, l'intersezione fra x-x e C-C indicherà la posizione del baricentro delle figure associate.
Il baricentro delle due figure sono noti, per cui si potrà ottenere le loro distanze dall'asse x-x, cha saranno rispettivamente 3,6 (figura magenta) e 2,4 (figura rossa).
Per elementarizzare la comprensione della procedura di calcolo, si è preparata una griglia con gli elementi dellealle due figure.
SDate le dimensioni dei pezzi, si è calcolato: l'area dei singoli pezzi e la loro area complessiva, tutto ciò al fine di ottenere i rispettivi momento statico, rispetto all'asse A-A. si ottiene così la posizione di x-x.
Il baricentro complessivo sarà nell'intersezione di C-C con x-x.
Si calcoleranno i momenti di inerzia di ciascuna delle due figure (magenta Jm = (4x4x42)/12; rosso JR = (8x3x82)/12).
Tenuto conto delle distanze dei singoli pezzi dall'asse baricentricoorizzontale, si applica il teorema di trasposizione (Area ped distanza al quadrato (magenta 16x3,62 = 207,36).
La somma dei singoli momenti di inerzia delle figure rossa e magenta con i valori del teorema di trasposizione ci darà il momento di inerzia totale riferito al baricentro della figura.
